TNJ-034「ejωt」を考えるなかで出会うイメージ除去ミキサや超高速ADC

はじめに

この技術ノートは、「e^jωt」に関する話題の後編（最後）としてお届けするものです。

前編 TNJ-032 では、複素信号がナニモノかを考え、オイラーの公式をあらためて味わっていきながら、回路理論での計算で、現実世界の正弦波と複素信号とをどのようなかたちで考えていくことができるか示していきました。その前編で、複数回の「なぜなぜ」を繰り返す過程の結果として、「すいません降参です」と、いつかは答えられない状況に陥るというお話もさせていただきました…。

つづいて中編 TNJ-033 では、前編での考察をもとに、現実の回路として、「すいません降参です」とした複素信号が、どのように実際に用いられているかをアナログ信号での複素ミキシングである「イメージ除去ミキサ」を例にして、その考え方をご紹介しました。

この後編の技術ノートでは、「すいません降参です（くどい …）」の複素信号に関して、高速 ADC のデータシートの中で見つけた信号表現と、その理論的な考え方をご紹介していきたいと思います。

図 1. 都築卓司; なっとくする虚数・複素数の物理数学, 講談社
ううむ、ここでも…。

青い草鞋を脱いだあとに読んだ物理数学の本

前編でお話した、2002年の春にいただいた禅問答「『e^jωt』とは何か」について、履きなれない青い壱足を脱いだあとも気になっており、実はずっと考えていました。「禅問答」としてしまうと、その方には失礼なのかもしれません。それでもその問答の本質をずっと探していたのでした。

とある日、何を思い立ったか（たぶん電磁気学の勉強のため）図 1 の本を買い（参考文献[1]）、読んでいました。そこの中に、それも最後の最後に、書いてあるわけですよ…。

〔以下同書籍の本文最終ページより引用〕

驚いたというか、なんというか。前編で「わかってねーな」ということを書きましたが、この筆者（理学博士。横浜市立大学名誉教授。すでに逝去）の方が、それこそ「わかってねーな」なんということはないと思います（大変失礼）。

これから類推できることは「結局は、実は、誰にも分からない」ということでしょうか。やはり、もしかすると、「4次元空間はどのように描けますか？」という質問とも、ほぼ同義かもしれません。もしかすると実は……「『e^jωt』とは何か」は、誰にも説明できないものなのかもしれません…。

超高速 ADC での複素ミキシングとは

とある日、とある代理店の、とある FAE の方から質問がありました。「AD9680という14ビットの1.25GspsのデュアルADCがありますよね」。そのAD9680は、

AD9680: A/D コンバータ、14 ビット、1.25GSPS/1GSPS/820 MSPS/500MSPS、デュアル、JESD204B

【概要】

AD9680 は、デュアル、14 ビット、1.25GSPS/1GSPS/820MSPS /500MSPS の A/D コンバータ（ADC）です。デバイスは、オンチップのバッファ回路とサンプル＆ホールド回路を備えており、低消費電力、小型サイズおよび使い易く設計されています。このデバイスは、最大2GHz までの広帯域幅アナログ信号をサンプリングするように設計されています。AD9680 は、小型パッケージ内に、広い入力帯域幅、高サンプリング・レート、優れた直線性および低消費電力と最適化されています。

デュアルの ADC コアは、マルチステージの差動パイプライン・アーキテクチャを採用し、出力誤差補正ロジックを内蔵しています。各 ADC は、ユーザー選択可能な多様な入力範囲をサポートする広帯域幅入力となっています。リファレンス電圧を内蔵しているため設計が容易です。

アナログ入力とクロック信号は、差動の入力となっています。各 ADC データの出力は、2つのデジタル・ダウンコンバータ（DDC）に内部で、接続されています。各DDCは、5段にカスケードされた信号処理段：12ビットの周波数変換（NCO）と4つのハーフ・バンド・デシメーション・フィルタで構成されています。DDCはデフォルトでバイパスされます。

（後略）

という、たしかに超高速な（実際にはさらに高速な製品もありますが）ADCです。ましてや高速シリアルI/F JESD204B が採用されている、だいぶ高度なものです。質問はつづきます…。

Digital Down Converter; DDC について

「Rev. 0のデータシートになりますが、この Figure 51～53に DDC （Digital Down Converter）を用いた周波数変換動作が説明されていますよね。ふつうはふたつの周波数𝑓1,𝑓2を乗算して周波数変換すると、（TNJ-032の図3や図4の説明のように）𝑓1,𝑓2の引き算の周波数と足し算の周波数にスペクトルが現れますよね。」

「でも、これらのFiguresはどう解釈すればいいのでしょうか？」

なるほど…。データシートを見てみると、たしかに複雑な図が描かれています…。図 2 は AD9680 のデータシート Rev. 0 のFigure 51 から抜粋したものです。この図2ではプラスの周波数スペクトル「だけ」が複素周波数変換により、低い周波数の信号（DCに近い信号）に変換されています。これを図2では赤い矢印で示してみました。

それではひとつひとつ、そのFAEの方の質問への回答として、この周波数変換動作のステップを考えてみましょう。

図2.AD9680のデータシートのFig. 51 に記載されている周波数変換動作の説明

図3.データシートFig.51のステップ ①

まず最初は ADC サンプリング動作によりゼロ周波数を中心としたスペクトルを示す

ADC の AD 変換動作と周波数変換動作

図 2 の AD9680 による AD 変換動作の部分を、あらためて図 3 に 抜き出してみました。基本的な話しとして、ここまでの技術ノ ート TNJ-032、 TNJ-033 での説明のように、AD 変換（サンプリ ング）された信号「REAL」𝑅は、ゼロ周波数を中心としたプラ ス側の周波数とマイナス側の周波数に、ふたつのスペクトルと して現れます。

図 3 では入力信号の周波数を+f_s/3（f_s [Hz]はサンプリング周波 数）、そして変調信号などを想定して中心周波数に対して帯域 幅があるかたちとなっています。そのスペクトルがプラスの周 波数軸上（+f_s/3）には「BANDWIDTH OF INTEREST」として 本来の信号という意味合いで表記され、マイナスの周波数軸上 （−f_s/3）には「BANDWIDTH OF INTEREST IMAGE」としてイ メージ周波数の成分という意味合いで表記されています。ここ までの説明、そしてデジタル信号処理理論の視点からは、実際 はどちらの信号も「本来の信号」といえるものです。

図 3では ADCの入力側も「REAL」、出力側も「REAL」ではあ りますが、どちらも同じもので、入力側が「アナログ信号とし ての REAL」𝑅、出力側が「デジタル（離散）信号としての REAL」𝑅という意味です。

NCO と数値乗算回路で出来ているDDC

つづいて図 4 のように FREQUENCY TRANSLATION STAGE と して、周波数変換動作が NCO（Numeric Controlled Oscillator）と 数値乗算回路を用いて行われます。NCO とは正弦波の数値を発 生するデジタル回路で、日本語とすれば「数値制御発振器」と なります。ある設定値（設定周波数に比例するもの。Frequency Tuning Word; FTW とも呼ばれます）を NCOに加えると、その設 定値に比例した周波数に相当する正弦波の値を出力してくれま す。AD9680 で NCO は 12 ビット・ワード幅になっています。

図 4. データシート Fig. 51 のステップ ②
FREQUENCY TRANSLATION STAGE（周波数変換段）の説明

数値乗算回路のほうは TNJ-032、TNJ-033 でも説明した、ミキサ と同じ動作をするものです。AD変換（サンプリング）されたデ ジタル信号「REAL」𝑅が数値乗算回路に入力され、NCO 出力は ミキサでいうところの局部（ローカル）発振信号とまったく同 じく機能します。この図 4 の周波数変換回路を拡大してあらた めて図 5 として見てみます。AD 変換された REAL という信号𝑅 は、局部（ローカル）発振信号 cos(𝜔𝑡)と−sin(𝜔𝑡)とで、I と Q という『ふたつの系統』に 2 分割されていることが分かります。

ちなみに、この I という系統は「In-Phase（同位相）」、Q とい う系統は「Quadrature-Phase（直角位相）」という表現からきて います。

この図 5 の回路が複素周波数ミキサとか、DDC（Digital Down Converter）とか呼ばれるものです。

ここで In-Phase（同位相）を基準とすれば、Quadrature-Phase （直角位相）はそれこそ 90°位相がずれているわけですから、I 系統で得られた信号𝐼を実数部として、もうひとつの『別の系統』 Q 系統で得られた信号𝑄を虚数部として、REAL の入力信号𝑅を 周波数変換した結果として

このように複素数の変換結果𝑆が実現されるわけです。つまり複 素数（実数／虚数）というのは『別のふたつの系統』を一つの 式（数値）で表せるということなんですね。

図 5. AD9680 の複素周波数ミキサ（DDC）。
NCO は 12bit ワード幅になっている

別のいいかたをすると、図 5 で得られるふたつの信号𝐼,𝑄は、複 素ミキシングにより得られた「複素数となるひとつの信号情報𝑆」 になります。

NCO と数値乗算回路による複素周波数変換動作

図 4にも「NCO TUNES CENTER OF BANDWIDTH OF INTEREST TO BASEBAND」と記載がありますが、これは AD 変換したデ ジタル信号「REAL」が、NCO で生成される I 系統、Q 系統それ ぞれのデジタル値と乗算され、低い周波数の信号（DC に近い信 号）に変換されることを意味します。この変換を図 4 に矢印で も示してみました。

無線通信や電波による放送をイメージしてもらいたいのですが、 このデジタル信号「REAL」は「CENTER OF BANDWIDTH OF INTEREST（希望波の帯域幅の中心）」を中心とした無線変調 波として、本来の伝送情報成分を含んでいるものです。この伝 送情報自体のことを「BASEBAND」と呼び、日本語でも「ベー スバンド信号」（より日本語的には「基底信号」）と呼びます。 つまり図 4 は無線変調波が、低い周波数の信号、DC に近い信号 として「BASEBAND 信号」に変換（TUNE）される動作を意味 しているわけです。

あらためてもう一度、これまでの説明をもとに「なぜ I系統と Q 系統で複素信号になるのか」を式で考えてみましょう。

図 4 に入ってくる信号 REAL は正弦波で表されるものとし、こ れを角周波数𝜔>の信号𝑅として、

として、たしかにプラスの周波数+𝜔>のみを周波数変換段でベ ースバンド周波数に変換した、複素信号𝑆になることが分かりま す。

別のいいかたをすると、ここで得られた複素信号𝑆には、マイナ スの周波数−𝜔>の成分は含まれていないことになります。すな わち信号「REAL」の片側、プラス側だけの周波数スペクトラ ムが、低い周波数の信号（DC に近い信号／ベースバンド信号） に変換されることになるわけです。

これが図 6 の中心に見える「BANDWIDTH OF INTEREST」な わけです。また「-6dB LOSS」というのは、式(4)に𝐴/2の項があ りますが、この

ということを示しているわけです（”DUE TO NCO + MIXER”は 「NCO とミキサにより」という意です）。

図6. データシートFig. 51のステップ
③ プラス側だけの周波数スペクトラムが低い周波数の信号
（DC に近い信号／ベースバンド信号）に変換される

NCO の 2 信号自体も複素周波数変換動作の元なんだ

これら図 4や図 6、そしてここまでの式を見ていくと、複素ミキ シングとして DDC は、（振幅成分は考えずに角周波数の成分と しては）正弦波の希望波𝑅のうちプラスの周波数成分

を

に変換するプロセスであることが分かります。

またこのプロセスは、ローカル信号を𝐿とすれば

です。ここで、ここまでの式から𝐿を求めてみます。式(6)は

と変形でき、この右項の乗算 1 項目は式(5)の𝑅+と同じなので、

これは極座標上をマイナス方向に角周波数ω_LOで回転する複素 信号です。

一方で DDC の数値乗算回路の I 相、Q 相に実際に加わるふたつ のローカル信号は cos(𝜔𝑡), − sin(𝜔𝑡)です。これらを上記の周波 数変換の説明と同じように、Q 系統は「I 系統とは別。別次元の もの」、そして「虚数『𝑗 』の軸」だとすれば、ふたつのロー カル信号はひとつの複素ローカル信号として

ここでオイラーの公式を使ってみれば

なんですね。式(8)と同じです。DDC はまさしく「希望波を −ω_LOだけシフトする動作」の複素ミキシングをしていることに なるわけです。

これを図 6 に、『赤の点線で示した希望波』のスペクトルが 『−𝑓_𝐿𝑂だけ周波数シフト』されるようすとして矢印で示します。 なおこの図 6 は、横軸が「角周波数」ではなく「周波数」なの で、

で周波数として表記しています。でも、しかし…、なのです…。 そのとある日の、とある代理店での、とある FAE の方からの質 問は続くのでありました。

図 7. 図 6 の右側に見えるスペクトルは
BANDWIDTH OF INTEREST IMAGE
つまり希望波のイメージがこんなところに出ている

図8. Fig. 51でBANDWIDTH OF INTEREST IMAGEが変な周波数に変換されている！
（図2を修正して再掲）

しかし図 6 ではマイナスの周波数成分が変なとこ ろに出ているぞ

そうです。そのとある日の、とある代理店での、とある FAE の 方からの質問は続くのでありました…。

「わかりました。でも図 6 の右側にあるスペクトルは希望波のも のじゃないですよね」

「図 7 のように、ここは BANDWITH OF INTEREST IMAGE とあ りますから、希望波のイメージ、つまり図 8（図 2を修正して再 掲）の−f_s/3のところにある希望波のイメージがここに変換さ れているということではないですか？」

「これはどう考えればよいのでしょうか？」

なかなか痺（シビ）れる質問です。30 秒ほど絶句してしまった かと思います。答えに窮したときの 30 秒って長いですね（笑）。それこそこのシーンでメーカの FAE としては、複数回の「なぜ なぜ」を繰り返された過程の結果として「すいません降参です」 なんてことは言えません（笑）。

この複素ミキシング信号処理は離散時間領域であるデジタ ル信号でおこなわれている

この技術ノートの中編 TNJ-033 で、イメージ除去ミキサの説明 をしました。そこでの信号処理は連続時間領域であるアナログ 信号でありました。

しかしここでの複素ミキシング信号処理は、離散時間領域であ るデジタル信号で行われています。離散時間…、つまりここで 出てくるのが「サンプリング定理」なわけです。それに気がつ けば、この質問に回答できることになるわけです。

ここでのポイントは「サンプリング周波数ごとに繰り返される イメージ・スペクトルが現れる」という点です。

正弦波の希望波𝑅のうち、イメージ周波数成分に相当するマイ ナスの周波数成分は

です。これがローカル信号

と複素ミキシングされた結果として

が生成されます。

ここまでの周波数関係の説明を用いて、周波数軸でこのイメー ジ周波数の信号が、複素ミキシングにより周波数変換されるよ うすを図 9 に示します。

もともとイメージ周波数は−f_s/3 [Hz]です。ローカル周波数も f_s/3ですから、複素ミキシングされた結果は式(13)のとおり −2f_s/3に現れます。

図 9. イメージ周波数の信号が複素ミキシングにより 周波数変換されるようす

図10. イメージ周波数の信号が周波数変換され それが+f_S/3に現れる

この周波数は、サンプリング周波数のマイナス側である−f_s [Hz]からすれば、それとの差分は「プラスf_s/3」ですね。これ が図 10 のように、そして図 7 や図 8 のようにゼロ周波数に対し て「プラスf_s/3」の周波数に現れることになるわけですね。

より新しい ADC はより高性能な NCO になって いる

ここまでの DDC の動作、それが複素ミキシングであること、ま た離散信号であることを改めて検討し、まとめてみると「なる ほどねえ」と思わせるものだったわけです。

ところでこの技術ノートを執筆していくなか、日常業務で、別 のとある代理店の、とある FAE の方とお話しする機会がありま した。そのときの質問は 4 チャンネル（Quad）の 500Msps の ADC である AD9694 の DDC に関することでした。

ここでその話題の細かいことをお話しするつもりはありません が、図 11にその AD9694のデータシートの DDC（NCO + MIXER） 部分を引用してみました。

図 11. AD9694 の複素ミキサ（DDC）。
サンプリングレートが 500Msps で高速だが、2016 年に発売された最新の製品であるため
NCO は 48bit ワード幅になっている

なんと NCO のワード幅が 48 ビットになっています。AD9680 が 12 ビット NCO ですから、単純に計算しても、分解能が 2 の 36 乗ぶんの 1（って、とてつもなく細かい…）まで高分解能にな っているのでした。

半導体はプロセス技術も発展して高速化してきてはいますが、 それでも 48 ビットの NCO を数 100MHz オーダで廻すなんて、 相当なものですね。

あらためて数学を学ぼうとすれば死ねなくなる （笑）

ということで技術ノート 3 部作、TNJ-032, 033, 034 を執筆するな かで、あらためて今回、図 12 の本（TNJ-033 で紹介したものの 再掲。参考文献[2]）を読み返していきました。そのとき「じっ くりとこの本を全て読んでみたい」と感じたのでした。

づづけて「これから先、80 歳すぎても、こんな本を楽しいと読 んでいたら『まだまだ探求したくて・忙しすぎてオレはまだ死 ねない』なんて、その 80～90 歳代（！？）に思うのかな？」と、 ひとり笑ってしまいました。

けっきょく「学び」は永遠に続くのかもしれません。たとえば YouTube で無償公開されている「MIT OpenCourseWare」なんて、 それこそ学びとしては「垂涎」のコンテンツですね！（参考文 献[3, 4]）

参考文献

[1] 都築卓司; なっとくする虚数・複素数の物理数学, 講談社

[2] 数学セミナー編集部編; 数学 100 の定理 ピタゴラスの定理か ら現代数学まで, 日本評論社

[3] https://ocw.mit.edu/index.htm

[4] https://www.youtube.com/user/MIT

図 12. 数学 100 の定理, 日本評論社（TNJ-033 の図 2 再掲）

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