TNJ-067 : 進み位相補償の限界とその理由（前編）あわせて…広島に行って驚いたこと

広島に行って驚いたこと

2019 年の夏。私用で 3 泊 4 日の行程で、久しぶりに広島を訪れた。会社の業務終了後の出発だったので、広島駅到着は遅く22:00。新幹線改札を出ると、そこには嬉しそうに帰路につく赤いユニフォームを着た多数の人々の波があった。驚きながらも、その中をすり抜けて宿泊先のホテルに向かう。翌朝の NHK テレビの広島地方トップ・ニュースは広島東洋カーブ [1]の試合結果。なんとトップで…！対ヤクルト 3 連戦の 2 戦目を 5－4 で勝利と知り、昨晩の人々が嬉しそうだった理由も腑に落ちた。

その日のお昼に入った中華料理屋の壁面は一面カープのポスター。800 円の野菜炒め定食を食しながら、「ん？」と気がついたカーブ試合日程のポスターには、なんと全試合結果をマジックで書き込んである。昨日のも早速ちゃんと書き込んである。

夜は一人で八丁堀のお好み村での「ぼっちディナー」（図 1）。「そういえば、（なぜそうなったのか未だに不明だが）長男が小さいころからカープが好きで、家族で観戦に来たな。20 年くらい前だったかもしれないな」。あとで調べると 2003 年だったが、それは実はもう一つ、我が大切な兄弟を広島に連れていく、親としての大きな目的があった。「帰りにカープ土産を買っていく（で送ってあげる）か」。美味く、量の多かった広島風お好み焼き（キャベツが多く、もたれることもなく）と冷却した霜降りジョッキで飲む生ビール 2 杯でおなかいっぱい、ほろ酔い気分。振り返ると店内の壁面はすべてカープのポスター。

広島駅前の宿泊先ホテルまでは八丁堀電停から路面電車（図2）。路面電車も新型車両 [2－4]になっていて、これまた驚き（後で調べて分かったが、広島電鉄はかなりの車両種類を保有している）。車体上側面にはカープの赤いラッピングが施されているではないか！…、と、さらに驚く我がほろ酔いオヤジ。そして乗車したその車内で聞こえる電停案内に…またまたびっくり。アナウンスが広島東洋カープの選手なのだ…。アナウンスは選手自身の名前と電停名に、一言コメントを交えたものだった（優勝しましょうとか、球場に来てくださいとか）。

私は驚きとともに想った。球団や選手をとても身近に感じる、と。「これではメロメロになってしまう。野球に興味がなくても、応援したくなる／見に行きたくなるな。さすが市民球団を源流とする [5]球団だ…」。ジェフユナイテッド市原・千葉 [6]が J1 に昇格したら黄色のユニフォームを着て気が狂ったように応援しているだろう私は、窓越しに流れる、未だ黄昏時の、広島の明るい繁華街の通りのようすを、ぼんやり眺めながら、驚きとともに、何故か、何故だかこみ上げるように、そう想った。

ホテルに戻りテレビを点けると対ヤクルトの 3 戦目をやっていた。マツダスタジアムのスタンドは、なんと右翼も左翼も真っ赤であった。またもやここでも驚きを禁じ得なかった。

テレビを観ているその私は、「買い忘れてはならない」と路面電車を降りた広島駅前で早速買った（マダ 2 日目ダ！）、長男へのお土産とする真っ赤な野球帽を握っていた。 （おわり）

はじめに

毎度迷走といってもいい、この『回路設計 WEBラボ』。「はじめに」がはじめではありません（汗）。

さて、引き続き、ここで今回の「はじめに」をお伝え申し上げます。

今回と次回は「進み位相補償」について考えてみたいと思います。進み位相補償は OPアンプ増幅回路の安定性を高める方法として、よく用いられるものではないでしょうか。私も初級から卒業するころ、「どんな条件でも進み位相補償が効くはずだ」と思いつつ実際に OPアンプで実験すると、自分の想いと回路の動きが異なっていた経験があります。ある先輩は言っていました「回路やソフトウェアは思ったとおりに動くのではなく、作ったとおりに動くのだ…」。至極ごもっともで…。

今回はその限界と理由について考察してみたいと思います。しかし「広島に行って驚いたこと」とは一切、本文の内容が関係ないところが、いかに、この『回路設計 WEBラボ』が迷走であるかを物語っております…。

周波数特性のピーキングと回路の動作安定性を考える

これまで WEBラボでも「位相余裕」という用語を紹介してきました（たとえば [7]）。これは帰還増幅回路の安定性を評価する指標です。この数字が大きいほうが回路は安定に動作します。

図 3 は高速 OP アンプ LTC6252 に負荷容量 47pF を接続したものです。負荷容量により位相遅れが増大し動作が不安定になっている状態を見てみる回路です。なお、G = 10（20dB）です。LTC6252 をまずご紹介しておきます。

LTC6252 電力効率の高い、720MHz、3.5mA レール・トゥ・レール入力/出力オペアンプ

https://www.analog.com/jp/ltc6252

【概要】

LTC6252/LTC6253/LTC6254 は、レール・トゥ・レール入力/出力を備え、ユニティゲインで安定する、低消費電力、

（後略）

図 3 の LTspice による回路の AC 解析シミュレーション結果を図4 に示します。6.7dB 程度の利得ピーク（ピーキング）が確認されました。これは（詳細はこの技術ノートでは説明しません。[7]などをご覧ください）位相余裕が 25°程度しかないと予測されるものです。

進み位相補償とは

この回路に対して図 5 のように帰還抵抗 R2 に、容量 3pF を並列接続してみます。シミュレーション結果を図 6 に示します。図 4で見えていたピーキングが消え、周波数上昇とともに、なだらかに減衰領域を迎えていることが分かります。このような常識的な増幅特性は、位相余裕が改善したものであり、位相余裕は60°以上あると予測されるものです。

このように帰還抵抗に容量を並列接続することを「進み位相補償」といいます。帰還回路で進み位相が形成されることにより、系全体での位相遅れを改善（低減）できる効果があります。

しかし容量を並列接続する進み位相補償は、どのようなケースでも有効でしょうか？

進み位相補償が効かないぞ

つづいて図 7は、図 3の回路を𝐺 = 2（6dB）にして同様なシミュレーションをしてみるものです。並列接続する容量を.step コマンドを使って可変させ、その効き具合を見てみます。

図 8 にシミュレーション結果を示します。容量値を変化させ、大きくしていっても、思いのほかピーキングが低減していません（位相余裕が改善していません）。これはなぜでしょうか…。どうやら、進み位相補償はいつでも有効とはいえなさそうだということに気がつきます。また容量値が大きすぎると周波数特性が大きく劣化してしまいます。

帰還回路により位相が変化するしくみを考える

最終的には「進み位相補償はどんなケースでも有効とはいえない」ということの理由を探究してきますが、まずは帰還回路の容量により位相が変化するしくみを数式で考えていきましょう。

通常、このような解析では、ラプラス演算子𝑠を用いる「ポール（極）とゼロ（零）」という考え方で説明されることが多いです し、私もそのようにこの WEBラボの他の記事でも説明してきま した。しかしこの技術ノートでは一歩下がり、ラプラス演算子𝑠を用いずに、直球勝負で虚数単位𝑗のみを用いて位相変化を考えてみます。

帰還回路部分だけを取り出してみる

図 9 はここまで見てきた回路の帰還回路部分だけを取り出してみたものです。並列接続される容量も記載しています。入力ノード𝑉_𝐼𝑁が（ここまで見てきた回路の）OP アンプ出力に相当し、𝑉_𝐹𝐵（Feedback Voltage の意味）というノードが OPアンプの反転入力端子に帰還されるところです。この入力𝑉_𝐼𝑁から出力𝑉_𝐹𝐵にかけての伝達関数を、虚数単位𝑗を用いて計算してみます。𝑅₂に並列に容量が接続された電圧分割回路ですから、以下のように式を立てることができます。

ここで

として伝達関数として表すことができ、さらに

この𝑈₁(𝑓)と𝑈₂(𝑓)それぞれは、進み位相要素となる分子の部分

ここで分母は 1 なので、単に表記を変えてあります。また遅れ位相要素となる分母の部分

ここでは分母を実数に（有理化）してあります。

このようにすれば、図 10のように𝑈₁(𝑓)と𝑈₂(𝑓)の従属接続として伝達関数𝐻(𝑓)の数学的モデルを考えることができます。

位相の変化を考えてみる

この従属接続モデルの位相変化を考えてみましょう。それぞれの位相変化は

として（実数部Reと虚数部Imの比から）得ることができます。まず式(4)の分子の部分である式(5)の𝑈₁(𝑓)の位相は

ところで

 tan⁻¹(1) = 45°

ですから、この式(8)が 45°の「進み」になる条件は

となります。この周波数𝑓_𝑈1は

つづいて式(4)の分母の部分である式(6)の𝑈₂(𝑓)の位相は

また

 tan⁻¹(−1) = −45°

ですから、式(11)が 45°の「遅れ」になる条件は

となります。この周波数𝑓_𝑈2は

このように𝑈₁(𝑓)と𝑈₂(𝑓)それぞれの位相特性を得ることができます。

回路全体𝐻(𝑓)の位相変化は

となり、𝑈₁(𝑓)で進み位相が形成され、𝑈₂(𝑓)で遅れ位相が形成されることになります。𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2との関係は抵抗値の比として

となりますから、𝑓_𝑈1 < 𝑓_𝑈2です。いまここで𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2が十分に離れているとすれば（図 9 の回路定数ではそのような関係になっていませんが）、𝑓_𝑈1手前で𝑈₁(𝑓)により図 9 の回路の位相が進み始め、𝑓_𝑈1で 45°になり、それを超えると位相が90°まで進み、つづいて𝑓_𝑈2手前で𝑈₂(𝑓)により位相が遅れ始め（「位相が戻る」といったほうが現場的かも）最終的に回路全体𝐻(𝑓)の位相は 0°に戻ります。

位相の変化をプロットしてみる

図 11 は𝑅₁を 1kΩ、𝑅₂を 100kΩ、𝐶_𝐹を 10pF としたときの𝑈₁ (𝑓), 𝑈₂(𝑓)それぞれの位相変化と回路全体𝐻(𝑓)の位相変化を、数値計算により得たようすです。𝑅₁, 𝑅₂の比を大きくしていますので、回路の増幅率が高い［𝐺 = 100（40dB）］、一方で帰還率は低い［𝛽 = 1/𝐺 = 1/100（－40dB）］条件になっています。

上から𝑈₁ (𝑓), 𝑈₂(𝑓), 𝐻(𝑓)の位相変化となっています。上記の説明 の よ う に 、 上 の 𝑈₁ (𝑓) は ［ 式 (10) から］ 周波数が 𝑓_𝑈1 = 159.2kHzのとき位相が+45°となり、さらに周波数が上昇すると+90°となります。中央の𝑈₂ (𝑓)は［式(13)から］上記より高い周波数𝑓_𝑈2 = 16.07MHz のとき位相が－45°となり、さらに周波 数が上昇すると－90°になります。これにより下の回路全体𝐻(𝑓)の位相は 0° ⇒ +90° ⇒ 0°と変化していることが分かります。回路全体𝐻(𝑓)の位相の最大進み量は 78.6°になっています。

図 12 に図 11 の条件を LTspice で構成し（図 9 の定数を変えて）、𝐻(𝑓)の位相変化をシミュレーションした結果を示します。図 11の結果と同じになっていることが分かります。このようなかたちで進み位相補償が形成されるわけですね。

なお最大位相進みが形成される周波数は相乗平均で

として計算できます。

回路の増幅率を低下させると進み位相補償が効かなくなる

図 3の回路を図 7のように𝐺 = 2（6dB）にすると「進み位相補償が効かないぞ」という状態になります。𝑅₁= 1kΩ、𝑅₂ =1kΩで考えてみます。さきの説明のように、このとき𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2の比は

となります。こうすると𝑓_𝑈1 = 15.92MHz, 𝑓_𝑈2 = 31.83MHz となり、𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2とがあまり離れていない状態になります。

この状態で図 11 に相当する𝑈₁ (𝑓), 𝑈₂(𝑓), 𝐻(𝑓)の位相変化を数値計算してみたものを図 13 に示します。𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2とが近いことにより、回路全体𝐻(𝑓)の位相の最大進み量は 19.5°に低下しています。形成された最大位相進み量が思いのほか小さいことが分かります。

図 14 に図 13 の条件を LTspice で構成し、𝐻(𝑓)の位相変化をシミュレーションした結果を示します。図 13 の結果と同じになっていることが分かります。

回路全体𝐻(𝑓)の最大位相進み量が小さいのは、𝑈₁ (𝑓)は周波数が𝑓_𝑈1 = 15.92MHz のとき位相が+45°となり、すでにその周波数付近で𝑈₂ (𝑓)が効き始め（変化し始め）、さっそく周波数𝑓_𝑈2 = 31.83MHz のとき𝑈₂ (𝑓)の位相が＝－45°となり、回路全体𝐻(𝑓)において、𝑈₁ (𝑓)の変化を打ち消してしまうからです。

これが「進み位相補償が効かないぞ」の理由なのです。「回路の増幅率𝐺を低下させる（帰還率𝛽を上昇させる）と、𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2とが近接することにより、十分に𝑈₁ (𝑓)による進み位相が形成されない」ことが理由なのです。𝑓_𝑈1と𝑓_𝑈2との比を𝑘すると、式(17)の周波数𝑓_{𝐿𝑚𝑎𝑥}で得られる最大位相進み量𝜙_𝑚𝑎𝑥は

という式で計算することができます（単位は radian）。この式(18)での計算結果と、図 11 や図 13 の結果は符合していることも分かります。なおこの式が得られる説明は、さらに記事が長くなるので割愛します（汗…。導出できないわけではありません…。自分で考えたものですから）。

次回は

次回は、進み位相補償が OPアンプの入力容量を補償する場合のうごきについて考えてみたいと思います。今回、「回路の増幅率を低下させると進み位相補償が効かなくなる」と説明しましたが、入力容量を補償する場合はどうなるのかという視点で探究してみます。

またあわせて次回では、スイッチング・レギュレータで用いられている電流出力型のエラー・アンプにおける位相補償回路について、ここまで同様、位相変化を考えてみます。電流出力チャージ・ポンプ PLL も出力は電流出力なので、それと同様に位相補償を考えることができます。

最後におまけ「路面電車に乗りながらエンジニアは思う」

最後におまけというか、広島の路面電車に乗って思ったことをクイズ的にご提示して終わりにします。さて、路面電車はどうやって交差点でのポイント制御をするのでしょうか。 私は路面電車にほろ酔い気分で乗りながら思いました。「JR などの一般的な鉄道で採用されている高度な制御システムでもなさそうな路面電車では、どう制御されているのか？」。ネットをサーチすれば答えは分かるのですが、これまた関心する方法でありました…。是非、皆様、調べてみてくださいませ。

ところで[2－4]で示した広島電鉄 5x00 形電車は 5000 形がGREENMOVER、5100 形が Green mover max、5200 形が Green mover APEX という愛称があるそうです。

もう一つおまけです。妻は最近の私を「にわかサッカー・ファンね」といいますが、私は幼少のころ、『三菱ダイヤモンド・サッカー』（東京 12 チャンネル。現テレビ東京）[8]をみて、「欧州のサッカーはスゲー！」と大興奮していた、意外と古くからのサッカー・ファン（坊や）だったりするのでした（笑）。

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