電流モード制御を高い精度で表現するLTspice用のACモデル、DC/DCコンバータのあらゆるトポロジに対応

はじめに

電源のフィードバック・ループについて把握するために、設計者がよく利用するツールがあります。それは、ループのゲインと位相の周波数応答をプロットしたボーデ線図です。フィードバック・ループの応答を予測できれば、補償に必要な部品の値の範囲を絞ることができます。ゲインと位相のグラフを最も正確に作成するには、現実のテスト環境でネットワーク・アナライザを使用して電源回路の評価を実施する必要があります。ただ、設計の初期段階では、ほとんどの設計者はコンピュータ上のシミュレーションによって性能を把握しようとします。そうすれば、必要な部品の値の大まかな範囲を素早く見極めることができるからです。また、各種のパラメータの変動に伴うループ応答の変化について直感的に理解することも可能です。

本稿では、電流モード制御のスイッチング電源に対応するLTspice^®用のACモデルを紹介します。電流モード制御は、スイッチング方式のDC/DCコンバータで広く使われています。なぜなら、電圧モード制御に勝る多くのメリットを備えているからです。例えば、電源ラインのノイズ除去性能が高い、過電流保護を自動的に行える、並列動作が容易、動的応答に優れるといった長所が存在します。

電流モード制御を採用した電源回路向けには、既にかなりの数のアベレージ・モデル（average model）が提供されています。DC/DCコンバータの帯域幅がより広がっていることに対応し、スイッチング周波数の1/2の範囲まで正確に回路の振る舞いを表現可能なモデルも存在します。しかし、それらは、降圧、昇圧、昇降圧（4スイッチの昇降圧を除く）など、限られたトポロジにしか対応できません。一方で、SEPIC（Single Ended Primary Inductor Converter）やĆukなどのトポロジにも適用できる3端子／4端子のアベレージ・モデルも存在します。ただ、それらは、スイッチング周波数の1/2の範囲まで正確に回路の振る舞いを表現することはできません。

本稿では、スイッチング周波数が比較的高い場合でも、その1/2の範囲まで正確に回路の振る舞いを表現できるLTspice用のシミュレーション・モデルを紹介します。そのモデルは、以下に示す多くのトポロジに対応しています。

• 降圧
• 昇圧
• 昇降圧
• SEPIC
• Ćuk
• フォワード
• フライバック

本稿では、この新たなモデルの有効性を裏付けるものとして、SIMPLIS（Simulation for Piecewise Linear System）によるシミュレーション結果を示します。また、そのモデルを各種のトポロジに適用した例も紹介します。一部の例については、実測結果との比較によってモデルの有効性を証明します。

電流モード制御のモデリング――これまでの歴史

まずは、電流モード制御のモデリングに関するこれまでの歴史を簡単に振り返ります（より詳しい情報については、稿末の参考資料をご覧ください）。

電流ループの目的は、インダクタの電流を制御信号に追従させることにあります。電流ループ内では、平均化されたインダクタ電流の情報に検出ゲインを乗じ、変調器にフィードバックします。変調器のゲインF_mは、一定のインダクタ電流のランプと外部のランプを仮定した幾何学的な計算によって求められます。インダクタ電流のランプのばらつきの影響をモデル化するために、図1に示すように2つのゲインを追加します。1つはフィードフォワード・ゲインk_f、もう1つはフィードバック・ゲインk_rです。このモデルは、R. D. Middlebrook氏によるものです。

図1に示したアベレージ・モデルについては、高い周波数範囲にまで有効に機能するよう拡張するための方法がいくつか提案されています。それらの方法では、離散時間の解析とサンプル・データの解析の結果に基づいて改変が行われます。図2に示したのは、R. B. Ridley氏によるモデルです。このモデルでは、H_e(s)関数によってサンプル＆ホールドの効果が等価的に表現されています。同関数は、連続アベレージ・モデルにおけるインダクタ電流のフィードバック・パスに挿入されています。このモデルは離散時間モデルを起点にしているので、サブハーモニック発振を正確に予測することができます。

図3に、もう1つの改変版を示しました。このアベレージ・モデルは、F. D. Tan氏とR. D. Middlebrook氏によって提案されました。図のとおり、電流ループ内のサンプリング効果を考慮するには、低い周波数に対応するモデルの電流ループ・ゲインにもう1つ極を追加する必要があります。

図2のR. B. Ridley氏のモデルはよく知られています。ただ、R. W. Erickson氏が発表した電流プログラム型の制御モデルもかなり広く使われています。図4に示したのは、同氏のモデルで使われるインダクタ電流の波形です。

平均インダクタ電流は、次のような式で表されます。

ここで、i_Lは検出電流、i_cはエラー・アンプからの電流コマンド、M_aは人為的なランプ勾配、m₁とm₂は出力インダクタ電流の上昇勾配と下降勾配です。摂動法と線形化を適用すると、次のような式が得られます。

この式と標準的なスイッチのモデルを基にすれば、電流モードのコンバータをモデリングできます。

電流モード制御の新たなアベレージ・モデル

R. W. Erickson氏のモデルは、素晴らしい物理的な洞察を電源の設計者にもたらします。しかし、スイッチング周波数の1/2の範囲まで回路の振る舞いを正確に表現することはできません。そこで、モデルの有効性を高い周波数範囲まで拡張するために、電流モード制御の新たなアベレージ・モデルを提案します。そのモデルは、Erickson氏のモデルに離散時間の解析とサンプル・データの解析の結果に基づく改変を加えたものになります（図5）。

サンプル・データのモデリングによってインダクタの振る舞いを表現すると、以下の式が得られます。

ここで、Tはスイッチの周期です。αは以下の式で表されます。

図5のモデルに適用されているG_ic(s)は、以下の式で表されます。

ω_cは、図5における内側の電流ループT_iのクロスオーバー周波数です。各トポロジのω_cを表す式を表1にまとめました。

降圧コンバータの例

図5では、F_vのフィードバック・ループとi_Lのフィードバック・ループを並列に配置していました。実際には、F_vのフィードバック・ループをi_Lのフィードバック・ループの内側に配置することも可能です。図6に、G_ic(s)の段を加えた完全な降圧コンバータのモデルを示しました。

制御から出力までの伝達関数G_vc(s)は、次のように表せます。

電流ループ・ゲインT_i(s)と電圧ループ・ゲインT_v(s)は、それぞれ以下の式で表せます。

各変数は、それぞれ以下に示す式で表せます。

図7に示すように、電流モードの新たなモデルを基に取得したループの応答（LTspiceのシミュレーション結果）は、SIMPLISによるシミュレーション結果と一致します。ここでは、V_IN = 12V、V_OUT = 6V、I_OUT = 3A、L = 10μH、C_OUT = 100μF、f_SW= 500kHzという条件を採用しました。

LTspice用の4端子のモデル

図5に示したアベレージ・モデルを基に、4端子のモデルを構築しました。このモデルは、クローズドループで動作する任意のPWM（Pulse Width Modulation）トポロジを対象としたDC／小信号の解析に使用できます。LTspice（無償提供）などの標準的な電子回路解析プログラムで利用可能です。

図8に示したのは、LTspiceによるシミュレーション用の回路図です。あらゆるトポロジに、同じモデルを適用していることがわかります。なお、フィードバック用の抵抗分圧器、エラー・アンプ、補償用の部品は省略しています。実際にDC/DCコンバータのモデルを使用する場合には、エラー・アンプの出力をVCピンに接続する必要があります。

図8の各ビヘイビア電圧源に適用するディレクティブを表2にまとめました。E1はスイッチがオンの場合のインダクタの電圧、E2はスイッチがオフの場合の電圧、V3は勾配補償振幅、Eiはインダクタの電流です。

図9に示したのは、2個のインダクタを使用するSEPICのシミュレーション結果です。ご覧のように、スイッチング周波数の1/2までの範囲でSIMPLISによるシミュレーション結果と一致しています。シミュレーションの条件は、V_IN = 20V、V_OUT = 12V、I_OUT = 3A、L = 4.7μH、C_OUT = 120μF、C1 = 10μF、f_SW = 300kHzです。

実測との比較による新たなモデルの検証

Ćukや、4象限、4スイッチの昇降圧などのトポロジは、従来のモデルではサポートされていませんでした。それらのトポロジを対象とし、実測結果と比較する方法で、図11の新たなLTspice用のモデルの検証を行いました。

Ćukにおけるモデルの検証

「LT3580」 は、PWM方 式 のDC/DCコ ン バ ー タICで す。2A/42Vの出力に対応するスイッチを内蔵しており、昇圧コンバータ、SEPIC、Ćukコンバータを構成することができます。本稿で紹介したACモデルは、それらすべてのトポロジに対して適用できます。図10に、Ćukコンバータを構成した例を示しました。f_SWは2MHz、V_OUTは-5Vです。図11に、LTspiceによるシミュレーション結果と実測結果を示しました。両ボーデ線図は、スイッチング周波数の1/2の範囲まで高い精度で一致していることがわかります。

4象限レギュレータにおけるモデルの検証

「LT8714」は、同期整流／PWM方式のコントローラICです。4象限出力に対応するDC/DCコンバータ向けに設計されています。出力電流をソース／シンクする能力を備えており、0Vをまたぐ出力電圧が滑らかに遷移します。4象限レギュレータを構成した場合、正の電圧、負の電圧、0Vの安定した出力を得ることが可能です。4象限電源、大電力を伴う双方向の電流源、アクティブ負荷、大電力を伴う低周波信号の増幅などの用途に利用できます。

出力は、Controlピンの電圧に応じて正にも負にも設定できます。図12の例では、同ピンの電圧が0.1Vの場合に-5V、1Vの場合に5Vの出力が得られます。V_INは12V、f_SWは200kHzです。

図13に、LTspiceによるシミュレーション結果と実測結果を示しました。両ボーデ線は、スイッチング周波数の1/2の範囲まで高い精度で一致していることがわかります。この例では、制御電圧（Controlピン）を1Vにすることで、V_OUT(OUT)は5Vに設定しています。

図14は制御電圧（Controlピン）を0.1Vとし、V_OUT(OUT)を-5Vに設定した場合の結果です。この条件でも、両者はスイッチング周波数の1/2の範囲まで高い精度で一致しています。

4スイッチ昇降圧におけるモデルの検証

「LT8390」は、4スイッチの昇降圧動作に対応する同期整流方式のDC/DCコントローラです。出力電圧より高い、低い、または等しい入力電圧を基に、レギュレートされた出力電圧（ならびに入力／出力電流）を生成できます。独自のピーク降圧/ピーク昇圧電流モード制御を採用しており、固定周波数（値は設定可能）の動作に対応します。

LT8390に対応するLTspice用のACモデルでは、入出力電圧の監視を実施します。その結果に応じ、降圧、ピーク降圧、ピーク昇圧、昇圧という4つの動作モードのうち1つが自動的に選択されます。図15に、LT8390を使用して構成した回路のLTspice用モデルを示しました。図16、図17は、LTspiceによるシミュレーション結果と実測結果を比較したものです。それぞれ降圧モードと昇圧モードに対応しています。いずれも、スイッチング周波数の1/2の範囲まで高い精度で一致していることがわかります。

まとめ

本稿では、電流モード制御の新たなモデルを紹介しました。このモデルは、サンプル・データ・モデルの正確さと、4端子スイッチ・モデルのシンプルさ／多用途性を併せ持っています。このLTspice用のモデルは、降圧、昇圧、SEPIC、Ćuk、フライバック、フォワードの各トポロジに対応します。いずれのトポロジにおいても、スイッチング周波数の1/2の範囲まで回路の振る舞いを正確に表現することが可能です。本稿で示したとおり、そのモデルを使用したLTspice用回路のシミュレーション結果と実測結果は互いによく一致します。このモデルは、連続導電モードで動作する電流モードのDC/DCコンバータにおけるループの設計／解析に利用可能です。

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